矩阵理论期末复习试题及答案
在学习矩阵理论的过程中，期末考试是一个重要的检验环节。为了帮助大家更好地准备考试，本文整理了一些典型的复习试题及其详细解答，希望能对大家的学习有所帮助。
一、选择题
1. 设A为n阶方阵，若A^2 = A，则A称为：
A. 零矩阵
B. 单位矩阵
C. 幂等矩阵
D. 对称矩阵
答案：C
2. 若矩阵A和B均为m×n矩阵，且AB=BA，则下列说法正确的是：
A. A和B一定是对称矩阵
B. A和B一定是可逆矩阵
C. A和B可能是任意矩阵
D. A和B一定是零矩阵
答案：C
二、填空题
1. 矩阵的秩等于其行向量组的_________。
答案：最大线性无关组的个数
2. 若矩阵A可逆，则其伴随矩阵记作_________。
答案：A⁻¹
三、解答题
1. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求其逆矩阵。
解：
根据公式 \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) \)，首先计算行列式：
\[
\text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = -2
\]
接着计算伴随矩阵：
\[
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}
\]
因此，
\[
A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}
\]
2. 证明：若矩阵A为正交矩阵，则A的逆矩阵等于其转置矩阵。
证明：
根据定义，正交矩阵满足 \( A^T A = I \)。因此，\( A^{-1} = A^T \)，即正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
以上题目涵盖了矩阵理论中的基本概念和常见问题，希望同学们能够通过这些练习巩固所学知识。祝大家考试顺利！
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