在数学和物理学中，向量是一个非常重要的概念。它不仅能够表示方向，还可以表示大小。向量的应用范围非常广泛，从几何学、力学到计算机图形学等都有它的身影。为了帮助大家更好地理解和运用向量，这里整理了一份向量公式的汇总。

1. 向量加法与减法

向量的加法遵循平行四边形法则或三角形法则。设向量a = (x₁, y₁) 和 b = (x₂, y₂)，则它们的和为：

a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

向量的减法同样基于此规则：

a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)

2. 标量乘法

当一个标量k乘以向量a时，结果是将向量a的每个分量都乘以该标量：

k a = (kx₁, ky₁)

3. 向量点积（内积）

两个向量之间的点积定义为它们对应分量的乘积之和：

a · b = |a||b|cosθ = x₁x₂ + y₁y₂

其中|a|和|b|分别代表向量a和b的模长，θ是两向量之间的夹角。

4. 向量叉积（外积）

对于三维空间中的两个向量a=(x₁,y₁,z₁)和b=(x₂,y₂,z₂)，它们的叉积可以计算如下：

a × b = (y₁z₂-y₂z₁, z₁x₂-z₂x₁, x₁y₂-x₂y₁)

叉积的结果仍然是一个向量，并且这个向量垂直于原来的两个向量所在的平面。

5. 模长公式

向量a=(x₁,y₁)的模长可以通过以下公式求得：

|a| = √(x₁²+y₁²)

6. 单位向量

单位向量是指长度为1的向量。给定向量a，其对应的单位向量可以表示为：

â = a / |a|

7. 角度公式

如果已知两个非零向量a和b，则它们之间形成的角α可以用下面的公式来确定：

cosα = (a · b) / (|a||b|)

8. 投影公式

向量a在向量b上的投影长度等于a与b的点积除以b的模长：

proj_b(a) = (a · b) / |b|

9. 平行四边形面积公式

利用向量叉积可以方便地计算由两个二维向量构成的平行四边形的面积S：

S = |a × b|

以上就是一些常用的向量运算公式。掌握这些基础知识有助于解决许多实际问题，无论是学习还是工作都会有所帮助。希望这份总结能对大家有所帮助！