在概率论与数理统计中，各种概率分布是描述随机现象的重要工具。其中，有六种常见的概率分布被广泛应用于理论研究和实际问题解决中。这些分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布、泊松分布、二项分布以及几何分布。了解这些分布的数学期望和方差对于分析数据具有重要意义。

首先，我们来看均匀分布。假设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，则其数学期望为(a+b)/2，方差为(b-a)²/12。这种分布的特点是所有可能取值的概率密度相同，常用于模拟公平随机事件。

其次，正态分布是一种非常重要的连续型分布，其概率密度函数呈现钟形曲线。如果随机变量X服从均值为μ、标准差为σ的正态分布N(μ,σ²)，那么它的数学期望即为其均值μ，而方差则为σ²。正态分布在自然界和社会科学中普遍存在，如身高、体重等生物特征往往符合这一分布规律。

接下来是指数分布，它通常用来描述等待时间或寿命等问题。若随机变量X服从参数λ的指数分布Exp(λ)，则其数学期望为1/λ，方差也为1/λ²。指数分布的一个显著特点是无记忆性，即无论过去已经过去了多长时间，未来发生某事件的概率不会受到影响。

泊松分布主要用于描述单位时间内独立事件发生的次数，比如电话呼叫中心每分钟接到的电话数量。若随机变量X服从参数λ的泊松分布Poisson(λ)，那么它的数学期望与方差均为λ。

再者，二项分布适用于多次重复试验中成功次数的统计。当随机变量X服从参数n和p的二项分布Binomial(n,p)时，其数学期望为np，方差为np(1-p)。例如，在抛硬币实验中，正面出现次数就可以用二项分布来建模。

最后，几何分布关注的是首次成功之前失败次数的统计。若随机变量X服从参数p的几何分布Geom(p)，则其数学期望为1/p，方差为(1-p)/p²。这类问题常见于赌博或者质量检验等领域。

综上所述，这六种常用分布各自有着独特的应用场景及其对应的数学期望和方差公式。掌握它们有助于更好地理解和处理现实生活中的不确定性问题。