在高中数学的学习过程中，数列是一个非常重要的知识点，它不仅出现在高考的必考题中，同时也是培养逻辑思维能力和解决实际问题能力的重要工具。为了帮助同学们更好地掌握数列的相关知识，本文将围绕数列的经典题型进行专题训练，并附上详细的解答过程。

一、等差数列与等比数列的基本概念

1. 等差数列：

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。这个常数称为公差，通常记作 \(d\)。等差数列的一般形式为：

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

其中，\(a_1\) 是首项，\(n\) 是项数。

2. 等比数列：

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。这个常数称为公比，通常记作 \(q\)。等比数列的一般形式为：

\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]

其中，\(a_1\) 是首项，\(n\) 是项数。

二、经典题型解析

题目 1：已知等差数列的首项为 3，公差为 4，求第 10 项。

解：

根据等差数列的通项公式 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)，代入已知条件：

\[a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4 = 3 + 36 = 39\]

答案：第 10 项为 39。

题目 2：已知等比数列的首项为 2，公比为 3，求前 5 项的和。

解：

等比数列前 \(n\) 项和公式为：

\[S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}, \quad q \neq 1\]

代入已知条件：

\[S_5 = 2 \cdot \frac{1-3^5}{1-3} = 2 \cdot \frac{1-243}{-2} = 2 \cdot 121 = 242\]

答案：前 5 项的和为 242。

三、综合练习题

题目 3：已知等差数列的前 3 项分别为 5、9、13，求该数列的通项公式及第 15 项。

解：

由已知条件可知，公差 \(d = 9 - 5 = 4\)。因此，通项公式为：

\[a_n = 5 + (n-1) \cdot 4 = 4n + 1\]

第 15 项为：

\[a_{15} = 4 \cdot 15 + 1 = 61\]

答案：通项公式为 \(a_n = 4n + 1\)，第 15 项为 61。

四、总结

通过以上题目的练习，我们可以看到，数列的解题关键在于熟练掌握基本公式并灵活运用。无论是等差数列还是等比数列，都需要明确其定义和公式，并结合具体题目进行分析。希望同学们通过这些练习能够进一步巩固对数列的理解，并在考试中取得优异的成绩！

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