在金融学和投资领域中，戈登增长模型（Gordon Growth Model, GGM）是一种用于评估股票内在价值的经典方法。该模型由美国经济学家迈克尔·戈登（Myron J. Gordon）提出，广泛应用于股票估值分析。本文将详细介绍戈登模型的推导过程，并探讨其背后的逻辑。
一、模型的基本假设
为了推导戈登模型，我们需要先明确一些基本假设：
1. 公司未来现金流稳定增长：假设公司的股息支付在未来会以固定的比率g持续增长。
2. 贴现率大于增长率：要求投资者的必要收益率r始终大于股息的增长率g（即r > g），以确保模型收敛。
3. 永续增长：假设公司在无限期内持续运营，并且能够保持稳定的增长率。
4. 单一现金流来源：仅考虑公司派发的股息作为股东回报，忽略其他形式的收益分配。
基于上述假设，我们可以构建一个简单的数学模型来描述股息流的价值。
二、模型的公式推导
设D₁为第一年的股息，g为股息的增长率，r为投资者的必要收益率，则未来的股息可以表示为：
- 第一年股息：D₁
- 第二年股息：D₂ = D₁ × (1 + g)
- 第三年股息：D₃ = D₂ × (1 + g) = D₁ × (1 + g)²
依此类推，第n年的股息为：
\[ D_n = D_1 \times (1 + g)^{n-1} \]
根据贴现公式，当前时点下第n年的股息现值为：
\[ PV(D_n) = \frac{D_n}{(1+r)^n} = \frac{D_1 \times (1+g)^{n-1}}{(1+r)^n} \]
将所有未来的股息折现到当前时刻并求和，得到股票的总价值P₀：
\[
P_0 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{D_1 \times (1+g)^{n-1}}{(1+r)^n}
\]
提取公因式后可得：
\[
P_0 = \frac{D_1}{1+r} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1+g}{1+r} \right)^n
\]
这是一个典型的几何级数求和问题，其中公比为 \(\frac{1+g}{1+r}\)，且由于r > g，公比小于1，因此该级数收敛。几何级数的求和公式为：
\[
\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \quad |x| < 1
\]
代入公比 \(\frac{1+g}{1+r}\)，我们得到：
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1+g}{1+r} \right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1+g}{1+r}}
\]
化简分母后：
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1+g}{1+r} \right)^n = \frac{1+r}{r-g}
\]
因此，股票的总价值为：
\[
P_0 = \frac{D_1}{1+r} \cdot \frac{1+r}{r-g} = \frac{D_1}{r-g}
\]
最终，戈登模型的公式为：
\[
P_0 = \frac{D_1}{r-g}
\]
三、模型的应用场景
戈登模型适用于以下场景：
1. 稳定的成长型企业：对于那些能够长期维持稳定增长率的企业，该模型非常适用。
2. 股息支付稳定：企业需具备连续且稳定的股息发放记录。
3. 高流动性市场：模型适合于流动性较好的股票市场，便于快速验证计算结果。
然而，需要注意的是，戈登模型也存在一定的局限性，例如无法处理非稳定增长的情况或零增长的情形。
四、总结
通过上述推导过程可以看出，戈登模型的核心在于利用贴现法将未来无限期的股息流折现至当前价值。尽管该模型依赖较多假设条件，但它仍然是股票估值领域的重要工具之一。合理运用这一模型可以帮助投资者更准确地判断股票的真实价值，从而做出更为明智的投资决策。
希望本文对您理解戈登模型有所帮助！
