在统计学中，极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种广泛使用的参数估计方法。它通过最大化观测数据的概率或联合概率来估计模型参数。这种方法的核心思想是找到一组参数值，使得已观测到的数据出现的可能性最大。
一、理论基础
假设我们有一组独立同分布的随机样本 \( X_1, X_2, \ldots, X_n \)，其概率密度函数为 \( f(x; \theta) \)，其中 \( \theta \) 是未知参数。那么，这些样本的联合概率密度函数可以表示为：
\[
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta)
\]
极大似然估计的目标是找到使 \( L(\theta) \) 最大的参数值 \( \hat{\theta} \)。为了简化计算，通常对 \( L(\theta) \) 取自然对数得到对数似然函数：
\[
l(\theta) = \ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(X_i; \theta)
\]
接下来，通过求解 \( l(\theta) \) 的导数并令其等于零，即可获得参数 \( \theta \) 的估计值。
二、练习题示例
题目1
设某随机变量 \( X \) 服从正态分布 \( N(\mu, \sigma^2) \)，其中均值 \( \mu \) 和方差 \( \sigma^2 \) 均未知。给定一组样本 \( x_1, x_2, \ldots, x_n \)，请推导出 \( \mu \) 和 \( \sigma^2 \) 的极大似然估计。
解答：
正态分布的概率密度函数为：
\[
f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
联合概率密度函数为：
\[
L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
取对数后得：
\[
l(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - n \ln \sigma - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2
\]
分别对 \( \mu \) 和 \( \sigma^2 \) 求偏导，并令其等于零，可得：
\[
\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i, \quad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \hat{\mu})^2
\]
题目2
假设某二项分布 \( B(n, p) \) 中的试验次数 \( n \) 已知，参数 \( p \) 未知。给定 \( k \) 次成功的观察值，请推导 \( p \) 的极大似然估计。
解答：
二项分布的概率质量函数为：
\[
P(k; n, p) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
联合概率质量函数为：
\[
L(p) = \prod_{i=1}^{k} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
取对数后得：
\[
l(p) = k \ln p + (n-k) \ln (1-p)
\]
对 \( p \) 求导并令其等于零，可得：
\[
\hat{p} = \frac{k}{n}
\]
三、总结
通过上述练习题可以看出，极大似然估计的关键在于正确构建似然函数并对其进行优化。无论是连续型还是离散型分布，这一方法都能提供有效的参数估计方案。希望读者能够通过这些练习加深对极大似然估计的理解与应用能力。
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