《高等数学》作为理工科学生必修的一门基础课程，是后续专业课程学习的重要理论支撑。其内容涵盖函数、极限、导数、积分等多个核心部分，具有较强的逻辑性和系统性。本文旨在对《高等数学》上册的主要知识点进行系统梳理与总结，帮助学习者更好地理解和掌握相关知识。

一、函数与极限

1. 函数的基本概念

函数是数学中描述变量之间关系的重要工具。包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质。常见的函数类型有：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2. 数列与数列的极限

数列是按一定顺序排列的一组数，其极限是研究数列变化趋势的基础。极限的存在性判定、夹逼定理、单调有界定理等是重点内容。

3. 函数的极限

包括自变量趋于有限值和无穷时的极限，以及左右极限的概念。极限的运算法则、无穷小量与无穷大量的比较也是重要内容。

4. 连续性

函数在某点连续的定义为该点处的极限等于函数值。连续函数的性质包括介值定理、零点定理等，是求解实际问题的重要工具。

二、导数与微分

1. 导数的定义与几何意义

导数是函数在某一点的变化率，反映了函数的局部变化趋势。导数的几何意义是曲线在该点的切线斜率。

2. 求导法则

包括四则运算的导数公式、复合函数的链式法则、隐函数求导法、参数方程求导法等。

3. 高阶导数与微分

高阶导数是导数的导数，用于分析函数的凹凸性、拐点等。微分则是导数的线性近似形式，用于误差估计和近似计算。

4. 中值定理

包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，是研究函数性质的重要工具。

三、导数的应用

1. 函数的单调性与极值

利用导数判断函数的增减区间，寻找函数的极大值和极小值。

2. 函数的凹凸性与拐点

通过二阶导数判断函数的凹凸性，并确定拐点的位置。

3. 洛必达法则

用于解决0/0或∞/∞型不定式的极限问题，是求极限的重要方法之一。

4. 泰勒展开与麦克劳林展开

将函数表示为多项式形式，便于近似计算和分析函数的局部行为。

四、不定积分与定积分

1. 不定积分的概念与基本公式

不定积分是导数的逆运算，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。

2. 定积分的定义与性质

定积分是函数在区间上的累积效果，具有可加性、线性性、对称性等性质。

3. 微积分基本定理

联系了不定积分与定积分，是微积分的核心内容之一。

4. 积分的应用

包括面积计算、体积计算、弧长计算、物理应用（如变力做功、质心等）。

五、微分方程初步

1. 微分方程的基本概念

微分方程是含有未知函数及其导数的方程，分为常微分方程与偏微分方程。

2. 一阶微分方程

包括可分离变量方程、齐次方程、线性方程等，是初等微分方程的重点内容。

3. 可降阶的高阶微分方程

如二阶方程中仅含y''和y'的方程，可以通过降阶法求解。

六、总结

《高等数学》上册的内容虽然繁多，但其逻辑结构清晰，层层递进。从函数到极限，再到导数与积分，每一部分都为后续学习打下坚实基础。掌握这些知识点不仅有助于应对考试，也为今后的学习和研究提供了有力的数学工具。

建议在学习过程中注重理解概念的本质，结合例题反复练习，逐步提升自己的数学思维能力与解题技巧。