【高一上学期函数专题:函数的图像(含答案解析)】在高中数学的学习中，函数是贯穿整个数学课程的重要内容之一。而“函数的图像”作为理解函数性质和变化规律的关键工具，对于高一学生来说尤为重要。通过图像，我们可以直观地看到函数的变化趋势、对称性、单调性、极值点等信息，从而更好地掌握函数的本质。
一、函数图像的基本概念
函数的图像，是指将函数定义域中的每一个自变量x，对应到函数值y，然后在坐标平面上以点(x, y)的形式表示出来，所有这些点构成的图形即为函数的图像。通常，我们使用直角坐标系来绘制函数图像，其中横轴表示自变量x，纵轴表示因变量y。
例如，函数 $ y = x^2 $ 的图像是一条开口向上的抛物线，其顶点在原点(0,0)，对称轴为y轴。
二、常见函数的图像特征
1. 一次函数
形式：$ y = kx + b $（k≠0）
图像：一条直线
- 当k>0时，函数图像从左下方向右上方上升；
- 当k<0时，函数图像从左上方向右下方下降；
- b为截距，表示图像与y轴交点的位置。
2. 二次函数
形式：$ y = ax^2 + bx + c $（a≠0）
图像：抛物线
- a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；
- 顶点坐标为 $ \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) $。
3. 反比例函数
形式：$ y = \frac{k}{x} $（k≠0）
图像：双曲线
- 当k>0时，图像位于第一、第三象限；
- 当k<0时，图像位于第二、第四象限。
4. 指数函数
形式：$ y = a^x $（a>0且a≠1）
图像：根据a的大小不同，图像可能呈上升或下降趋势。
5. 对数函数
形式：$ y = \log_a x $（a>0且a≠1）
图像：与指数函数互为反函数，图像关于直线y=x对称。
三、函数图像的变换
通过对基本函数图像进行变换，可以得到更复杂的函数图像。常见的变换包括：
- 平移：
- 向右平移a个单位：$ y = f(x - a) $
- 向左平移a个单位：$ y = f(x + a) $
- 向上平移b个单位：$ y = f(x) + b $
- 向下平移b个单位：$ y = f(x) - b $
- 伸缩：
- 横向伸缩：$ y = f(kx) $（k>1时图像压缩，0 - 纵向伸缩：$ y = kf(x) $（k>1时图像拉伸，0 - 对称： - 关于x轴对称：$ y = -f(x) $ - 关于y轴对称：$ y = f(-x) $ - 关于原点对称：$ y = -f(-x) $ 四、函数图像的应用 1. 解方程与不等式 通过图像可以直观地找到函数的零点、交点，从而求解方程或不等式。 2. 分析函数性质 通过观察图像的增减性、对称性、极值点等，可以判断函数的单调性、奇偶性、周期性等。 3. 实际问题建模 在物理、经济、工程等领域，许多实际问题都可以用函数图像来表示和分析。 五、典型例题解析 例题1： 画出函数 $ y = |x - 2| $ 的图像，并指出其对称轴。 解析： 该函数是绝对值函数，可以拆分为两种情况： - 当 $ x \geq 2 $ 时，$ y = x - 2 $ - 当 $ x < 2 $ 时，$ y = -(x - 2) = -x + 2 $ 因此，图像是一条V形，顶点在(2, 0)，对称轴为 $ x = 2 $。 例题2： 已知函数 $ y = 2^{x+1} $，求其图像经过哪些点？ 解析： 令x=0，则 $ y = 2^{1} = 2 $，即点(0, 2) 令x=-1，则 $ y = 2^{0} = 1 $，即点(-1, 1) 令x=1，则 $ y = 2^{2} = 4 $，即点(1, 4) 因此，该函数图像经过点(0, 2)、(-1, 1)、(1, 4)等。 六、总结 函数的图像不仅是学习函数的重要手段，更是解决数学问题的有效工具。通过掌握各种函数的基本图像及其变换规律，可以帮助我们更深入地理解函数的性质，并在实际问题中灵活运用。 建议同学们多动手画图、观察图像变化，结合代数运算，逐步提高对函数图像的理解能力。 参考答案解析（部分）： 1. 函数 $ y = |x - 2| $ 的图像为V形，顶点在(2, 0)，对称轴为x=2。 2. 函数 $ y = 2^{x+1} $ 的图像经过点(0, 2)、(-1, 1)、(1, 4)等。 3. 若函数图像关于y轴对称，则该函数为偶函数。 如需更多练习题及详细解析，欢迎继续关注本专题。
