【一次函数典型测试题含答案】在初中数学中，一次函数是函数部分的重要内容之一，也是考试中的高频考点。掌握一次函数的基本概念、图像性质以及相关应用题的解法，对于提高数学成绩具有重要意义。以下是一些关于一次函数的典型测试题，并附有详细解答，帮助学生巩固知识点，提升解题能力。
一、选择题
1. 下列函数中，哪一个是关于 $ x $ 的一次函数？
A. $ y = x^2 + 1 $
B. $ y = 3x $
C. $ y = \frac{1}{x} $
D. $ y = 2x^2 $
答案：B
解析：一次函数的一般形式为 $ y = kx + b $（其中 $ k \neq 0 $），只有选项 B 符合这个形式。
2. 若函数 $ y = (m - 2)x + 3 $ 是一次函数，则 $ m $ 的取值范围是：
A. $ m = 2 $
B. $ m \neq 2 $
C. $ m > 2 $
D. $ m < 2 $
答案：B
解析：一次函数要求 $ x $ 的系数不为零，即 $ m - 2 \neq 0 $，所以 $ m \neq 2 $。
3. 直线 $ y = -2x + 5 $ 的斜率是：
A. 2
B. -2
C. 5
D. -5
答案：B
解析：直线的一般式为 $ y = kx + b $，其中 $ k $ 是斜率，因此斜率为 -2。
二、填空题
4. 函数 $ y = 3x - 4 $ 的图像是经过点 ______ 和 ______ 的一条直线。
答案：(0, -4) 和 (1, -1)
解析：当 $ x = 0 $ 时，$ y = -4 $；当 $ x = 1 $ 时，$ y = 3 \times 1 - 4 = -1 $。
5. 若点 $ (2, 5) $ 在直线 $ y = kx + 1 $ 上，则 $ k = $ ______。
答案：2
解析：将点代入方程得 $ 5 = 2k + 1 $，解得 $ k = 2 $。
三、解答题
6. 已知一次函数的图象经过点 $ (1, 3) $ 和 $ (2, 5) $，求该函数的表达式。
解：
设函数为 $ y = kx + b $。
将点 $ (1, 3) $ 和 $ (2, 5) $ 代入得：
$$
\begin{cases}
k + b = 3 \\
2k + b = 5
\end{cases}
$$
用第二个方程减第一个方程得：
$$
(2k + b) - (k + b) = 5 - 3 \Rightarrow k = 2
$$
将 $ k = 2 $ 代入第一个方程得：
$$
2 + b = 3 \Rightarrow b = 1
$$
所以，该一次函数的表达式为 $ y = 2x + 1 $。
7. 某地出租车计价规则如下：起步价为 8 元，超过 3 公里后每公里加收 2 元。设乘车路程为 $ x $ 公里，车费为 $ y $ 元，写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数关系式，并计算当 $ x = 5 $ 时的车费。
解：
当 $ x \leq 3 $ 时，车费为 8 元；
当 $ x > 3 $ 时，车费为：
$$
y = 8 + 2(x - 3) = 2x + 2
$$
所以，函数关系式为：
$$
y =
\begin{cases}
8, & x \leq 3 \\
2x + 2, & x > 3
\end{cases}
$$
当 $ x = 5 $ 时，代入得：
$$
y = 2 \times 5 + 2 = 12 \text{ 元}
$$
四、综合题
8. 一次函数 $ y = ax + b $ 的图像经过点 $ (1, 5) $ 和 $ (-1, 1) $，求 $ a $ 和 $ b $ 的值，并画出该函数的图像。
解：
将点 $ (1, 5) $ 和 $ (-1, 1) $ 代入函数得：
$$
\begin{cases}
a + b = 5 \\
- a + b = 1
\end{cases}
$$
用第一个方程减去第二个方程得：
$$
(a + b) - (-a + b) = 5 - 1 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2
$$
将 $ a = 2 $ 代入第一个方程得：
$$
2 + b = 5 \Rightarrow b = 3
$$
所以，函数表达式为 $ y = 2x + 3 $。
图像是一条经过点 $ (0, 3) $ 和 $ (1, 5) $ 的直线，斜率为 2，向上倾斜。
五、总结
一次函数是初中数学的重要基础内容，掌握其定义、图像特征及实际应用问题的解法，有助于提升数学思维能力和解题技巧。通过多做练习题、分析典型例题，可以更深入地理解一次函数的相关知识。
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