【206离散数学作业3答案】在学习离散数学的过程中，作业是巩固知识、提升逻辑思维能力的重要手段。本次“206离散数学作业3”涵盖了集合论、关系与函数、图论等核心内容，旨在帮助学生更好地理解离散数学的基本概念和应用方法。
以下是对本作业中部分题目的解析与解答，供参考：
一、集合运算
题目：设集合 A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {3, 4, 5}，求 (A ∪ B) ∩ C。
解答：
- A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
- (A ∪ B) ∩ C = {3, 4}
因此，结果为 {3, 4}。
二、关系的性质判断
题目：给定集合 A = {1, 2, 3}，定义关系 R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2)}，判断 R 是否为等价关系。
解答：
等价关系需要满足三个条件：自反性、对称性、传递性。
- 自反性：对于所有 a ∈ A，(a,a) ∈ R。显然成立。
- 对称性：若 (a,b) ∈ R，则 (b,a) ∈ R。但 (1,2) ∈ R，而 (2,1) ∉ R，不满足对称性。
- 传递性：若 (a,b) 和 (b,c) ∈ R，则 (a,c) ∈ R。这里没有违反传递性的例子。
由于不满足对称性，R 不是等价关系。
三、图的遍历问题
题目：给定无向图 G 的邻接表如下：
```
1: [2, 3]
2: [1, 4]
3: [1, 4]
4: [2, 3]
```
从节点 1 出发，进行深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），写出访问顺序。
解答：
- DFS：1 → 2 → 4 → 3
- BFS：1 → 2 → 3 → 4
注意：具体顺序可能因实现方式不同略有差异，但基本结构不变。
四、函数的单射与满射判断
题目：设 f: N → N 定义为 f(n) = n² + 1，判断 f 是否为单射或满射。
解答：
- 单射：若 f(a) = f(b)，则 a = b。因为若 a² + 1 = b² + 1 ⇒ a² = b² ⇒ a = b（N 中自然数非负），所以 f 是单射。
- 满射：是否存在 n ∈ N，使得 f(n) = m？例如，m=2 时，n=1；m=5 时，n=2。但像 m=3，无法找到整数 n 使得 n² + 1 = 3，因此不是满射。
综上，f 是单射，但不是满射。
五、命题逻辑化简
题目：将公式 ¬(p ∧ q) ∨ r 化简为最简形式。
解答：
利用德摩根定律：
¬(p ∧ q) ∨ r ≡ (¬p ∨ ¬q) ∨ r
根据结合律可得：¬p ∨ ¬q ∨ r
因此，最简形式为：¬p ∨ ¬q ∨ r
总结：
本次作业不仅考察了学生对基本概念的理解，还涉及了逻辑推理、集合运算、图论及函数性质等多个方面。通过认真思考与练习，能够有效提升离散数学的学习效果。建议在做题过程中多加分析，注重逻辑推理过程，避免死记硬背。
如需更多习题讲解或进一步拓展，请继续关注后续内容。
