【e的x分之一的左右极限】在数学分析中，函数 $ f(x) = e^{1/x} $ 在 $ x = 0 $ 处的极限是一个典型的例子，用于探讨函数在某点处的左右极限是否存在以及是否相等。由于 $ x = 0 $ 是该函数的不连续点，因此需要分别研究当 $ x $ 从左侧趋近于 0 和从右侧趋近于 0 时的极限情况。
一、左右极限分析
| 极限方向 | 表达式 | 极限值 | 是否存在 |
| 左极限（$ x \to 0^- $） | $ \lim_{x \to 0^-} e^{1/x} $ | $ 0 $ | 存在 |
| 右极限（$ x \to 0^+ $） | $ \lim_{x \to 0^+} e^{1/x} $ | $ +\infty $ | 存在 |
二、详细说明
1. 左极限：$ x \to 0^- $
当 $ x $ 从左侧趋近于 0 时，即 $ x < 0 $ 且 $ x \to 0 $，此时 $ \frac{1}{x} \to -\infty $。因此，指数部分趋向于负无穷大，而 $ e^{-\infty} = 0 $。所以：
$$
\lim_{x \to 0^-} e^{1/x} = 0
$$
2. 右极限：$ x \to 0^+ $
当 $ x $ 从右侧趋近于 0 时，即 $ x > 0 $ 且 $ x \to 0 $，此时 $ \frac{1}{x} \to +\infty $。因此，指数部分趋向于正无穷大，而 $ e^{+\infty} = +\infty $。所以：
$$
\lim_{x \to 0^+} e^{1/x} = +\infty
$$
三、结论
- 函数 $ e^{1/x} $ 在 $ x = 0 $ 处的左极限为 0，右极限为 $ +\infty $。
- 由于左右极限不相等，因此 $ \lim_{x \to 0} e^{1/x} $ 不存在。
- 这个例子展示了函数在不连续点处可能存在的不同极限行为，是学习极限和连续性的重要案例。
通过以上分析可以看出，函数 $ e^{1/x} $ 在 $ x = 0 $ 处的行为具有明显的不对称性，这也是许多初学者容易混淆的地方。理解左右极限的区别对于深入掌握极限理论至关重要。
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