【等比数列的通项公式和求和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。掌握等比数列的通项公式和求和公式，对于解决实际问题和数学分析具有重要意义。
一、通项公式
等比数列的一般形式为：
$$ a_1, a_2 = a_1 \cdot r, a_3 = a_1 \cdot r^2, a_4 = a_1 \cdot r^3, \dots $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比（$ r \neq 0 $）。
通项公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中，$ n $ 是项数。
二、求和公式
等比数列的前 $ n $ 项和记作 $ S_n $，其公式如下：
当 $ r \neq 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
$$
当 $ r = 1 $ 时：
由于所有项都相等，即 $ a_1 = a_2 = \dots = a_n $，所以：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
三、总结表格
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 用于求第 $ n $ 项的值 |
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | 当 $ r \neq 1 $ 时适用 |
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = n \cdot a_1 $ | 当 $ r = 1 $ 时适用 |
四、应用示例
假设一个等比数列的首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ r = 3 $，求第 5 项和前 5 项的和：
- 第 5 项：
$$
a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162
$$
- 前 5 项和：
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
通过掌握这些公式，我们可以更高效地分析和计算等比数列的相关问题，广泛应用于金融、物理、计算机科学等领域。
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