【多元函数极值fxy怎么求】在数学分析中，多元函数的极值问题是研究函数在多个变量下的最大值或最小值问题。对于二元函数 $ f(x, y) $，我们通常通过偏导数、海森矩阵等方法来判断其极值点，并进一步确定是极大值还是极小值。
以下是对“多元函数极值 $ f_{xy} $ 怎么求”这一问题的总结与解析：
一、基本步骤
1. 求出偏导数：计算函数对 $ x $ 和 $ y $ 的一阶偏导数。
2. 解方程组：令一阶偏导数为零，找出临界点（即可能的极值点）。
3. 计算二阶偏导数：包括 $ f_{xx} $、$ f_{yy} $、$ f_{xy} $。
4. 使用海森矩阵判断极值类型：通过判别式 $ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 $ 来判断临界点的性质。
二、判断极值类型的表格
| 判别式 $ D $ | $ f_{xx} $ | 极值类型 | 说明 |
| $ D > 0 $ | $ > 0 $ | 极小值 | 函数在该点附近有最低值 |
| $ D > 0 $ | $ < 0 $ | 极大值 | 函数在该点附近有最高值 |
| $ D < 0 $ | — | 鞍点 | 既不是极大也不是极小，是鞍点 |
| $ D = 0 $ | — | 无法判断 | 需要其他方法进一步分析 |
三、示例说明
假设函数为 $ f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 $。
1. 求一阶偏导数：
$$
f_x = 2x - 2,\quad f_y = 2y - 4
$$
2. 解方程组：
$$
2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1\\
2y - 4 = 0 \Rightarrow y = 2
$$
所以临界点为 $ (1, 2) $。
3. 求二阶偏导数：
$$
f_{xx} = 2,\quad f_{yy} = 2,\quad f_{xy} = 0
$$
4. 计算判别式：
$$
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \times 2 - 0 = 4 > 0
$$
因为 $ f_{xx} > 0 $，所以该点为极小值点。
四、注意事项
- 多元函数的极值点可能不止一个，需逐一分析。
- 若 $ D = 0 $，不能仅凭海森矩阵判断，需结合函数图像或其他方法。
- 实际应用中，可结合梯度下降、拉格朗日乘数法等进行优化。
通过以上步骤和判断方法，可以系统地求解多元函数的极值问题，尤其是对 $ f_{xy} $ 这类混合偏导数的处理，有助于更全面地理解函数的局部行为。
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