在数学几何中，点到直线的距离公式是一个非常重要的概念。它不仅在理论研究中有广泛的应用，而且在实际问题解决中也起着关键作用。本文将详细探讨这一公式的推导过程，并结合实例展示其具体应用。

首先，我们来回顾一下点到直线的距离公式的基本形式。假设有一条直线L的方程为Ax + By + C = 0，以及一个不在直线上的点P(x₀, y₀)，那么点P到直线L的距离d可以通过以下公式计算：

\[ d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

接下来，我们将逐步推导这个公式。设点P(x₀, y₀)到直线L的距离为d，过点P作一条垂直于直线L的垂线，垂足记为Q。由于直线L的方向向量为(-B, A)，因此直线L的法向量为(A, B)。根据向量点积的定义，可以得出向量\(\overrightarrow{PQ}\)与法向量(A, B)平行，即存在实数k使得：

\[ \overrightarrow{PQ} = k(A, B) \]

利用点P和点Q的坐标关系，我们可以得到：

\[ (x_Q - x_0, y_Q - y_0) = k(A, B) \]

由此可得：

\[ x_Q = x_0 + kA, \quad y_Q = y_0 + kB \]

因为点Q位于直线L上，所以满足直线L的方程：

\[ A(x_0 + kA) + B(y_0 + kB) + C = 0 \]

化简后得到：

\[ k(A^2 + B^2) + A x_0 + B y_0 + C = 0 \]

解出k后代入\(\overrightarrow{PQ}\)的表达式即可求得点P到直线L的距离d。

通过上述推导过程，我们得到了点到直线距离的公式。接下来，让我们看几个实际应用的例子。

例1：已知直线L的方程为3x - 4y + 5 = 0，求点(2, 3)到直线L的距离。

解：直接套用公式，代入A=3, B=-4, C=5, x₀=2, y₀=3，计算得：

\[ d = \frac{|32 - 43 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 - 12 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{1}{5} \]

因此，点(2, 3)到直线L的距离为1/5。

例2：判断点P(4, 7)是否在直线L: 2x + y - 8 = 0附近。若点P到直线L的距离小于1，则认为点P在直线上。

解：同样使用公式计算点P到直线L的距离：

\[ d = \frac{|24 + 7 - 8|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|8 + 7 - 8|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{5}} \approx 3.13 \]

由于d > 1，所以点P不在直线L附近。

综上所述，点到直线的距离公式在解决几何问题时具有重要作用。无论是理论研究还是实际应用，掌握该公式的推导方法和应用场景都是十分必要的。希望本文能帮助读者更好地理解和运用这一基本而重要的数学工具。