在高中数学中，向量是一个重要的知识点，而向量的模（即长度）是向量的基本属性之一。掌握平面向量模的计算方法，对于解决几何、物理以及后续的向量运算问题都具有重要意义。
一、什么是向量的模？
向量的模是指该向量的长度或大小，通常用符号 $|\vec{a}|$ 表示。在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为 $\vec{a} = (x, y)$，其模的计算公式为：
$$
|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}
$$
这个公式来源于勾股定理，因为向量可以看作是从原点出发到点 $(x, y)$ 的线段，其长度即为该线段的长度。
二、常见题型与解法
1. 已知向量的坐标，求模
例题：
已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$，求其模。
解：
$$
|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$
答案： $5$
2. 已知两个点，求向量的模
例题：
已知点 $A(1, 2)$ 和点 $B(4, 6)$，求向量 $\vec{AB}$ 的模。
解：
首先求向量 $\vec{AB}$ 的坐标：
$$
\vec{AB} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)
$$
然后计算模：
$$
|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$
答案： $5$
3. 向量模的平方
有时题目会问“向量模的平方是多少”，此时可以直接使用 $x^2 + y^2$ 来计算，无需开根号。
例题：
已知向量 $\vec{b} = (-2, 5)$，求其模的平方。
解：
$$
|\vec{b}|^2 = (-2)^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29
$$
答案： $29$
三、向量模的性质
1. 非负性：任何向量的模都是非负数，即 $|\vec{a}| \geq 0$。
2. 零向量的模为0：若 $\vec{a} = (0, 0)$，则 $|\vec{a}| = 0$。
3. 模的乘法性质：若 $k$ 为实数，则 $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$。
4. 三角不等式：对任意两个向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$，有 $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$。
四、拓展应用
在实际问题中，如物理中的位移、速度、力等都可以用向量来表示，而它们的大小往往就是向量的模。例如：
- 一个物体从原点移动到点 $(3, 4)$，其位移的大小为 $5$；
- 一个力的大小为 $10N$，方向为某个向量，那么该向量的模就是 $10$。
五、练习题（含答案）
1. 已知向量 $\vec{c} = (5, 12)$，求其模。
答案： $13$
2. 点 $P(2, 3)$ 到点 $Q(-1, 7)$ 的距离是多少？
答案： $5$
3. 向量 $\vec{d} = (-3, -4)$，求其模的平方。
答案： $25$
六、总结
平面向量的模是向量运算中的基础内容，掌握其计算方法不仅有助于解题，也为后续学习向量加减、点积、叉积等打下坚实基础。通过多做练习，理解不同情境下的应用，能够更灵活地运用这一知识。
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