【完全立方和公式是怎么推出来的】在数学中，完全立方和公式是一个重要的代数恒等式，广泛应用于多项式的展开与简化。它指的是将两个数的和的立方展开为三项的形式，即：
$$
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
$$
这个公式可以通过乘法运算逐步推导得出，也可以通过组合数学中的二项式定理进行理解。下面我们将从基本原理出发，详细说明其推导过程，并以表格形式总结关键步骤。
一、公式推导过程
1. 定义表达式
首先，我们考虑 $(a + b)^3$ 的含义，即 $ (a + b) \times (a + b) \times (a + b) $。
2. 第一步：计算 $(a + b)^2$
先计算平方部分：
$$
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
$$
3. 第二步：将结果与 $(a + b)$ 相乘
接下来，将 $(a + b)^2$ 与 $(a + b)$ 相乘：
$$
(a^2 + 2ab + b^2)(a + b)
$$
4. 第三步：展开乘积
使用分配律逐项相乘：
- $ a^2 \cdot a = a^3 $
- $ a^2 \cdot b = a^2b $
- $ 2ab \cdot a = 2a^2b $
- $ 2ab \cdot b = 2ab^2 $
- $ b^2 \cdot a = ab^2 $
- $ b^2 \cdot b = b^3 $
5. 第四步：合并同类项
将上述各项合并：
$$
a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3
$$
合并后得到：
$$
a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
$$
二、公式总结（表格）
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 定义表达式 | $(a + b)^3$ |
| 2 | 展开 $(a + b)^2$ | $a^2 + 2ab + b^2$ |
| 3 | 与 $(a + b)$ 相乘 | $(a^2 + 2ab + b^2)(a + b)$ |
| 4 | 分配律展开 | $a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3$ |
| 5 | 合并同类项 | $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ |
三、小结
完全立方和公式是通过基本的乘法法则和分配律逐步展开而来的。它的结构清晰，便于记忆和应用。了解其推导过程不仅有助于加深对公式的理解，还能提升解决代数问题的能力。
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