【极限常用的9个公式】在高等数学中，极限是微积分的基础内容之一，掌握常见的极限公式对于学习导数、积分以及函数的连续性等概念至关重要。以下总结了极限中常用的9个公式，便于理解和记忆。
一、常用极限公式总结
| 序号 | 公式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限等于常数本身 |
| 2 | $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋近于某点时，其极限即为该点值 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数中的重要极限 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限形式 |
| 5 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限形式 |
| 6 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 与自然对数底 $e$ 相关的极限 |
| 7 | $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$（$a > 0, a \neq 1$） | 指数函数的一般形式 |
| 8 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 三角函数的常见极限 |
| 9 | $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k$（$k$ 为常数） | 幂函数的极限形式 |
二、使用说明
以上公式适用于大部分基础的极限计算问题，尤其在求解未定型极限（如 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$）时，可以结合洛必达法则或泰勒展开进行进一步分析。
在实际应用中，建议通过图形理解极限的含义，例如观察函数图像在某个点附近的趋势，有助于更直观地理解极限的存在性和数值。
三、注意事项
- 极限的计算需要考虑左右极限是否相等；
- 对于复杂函数，应先化简再代入极限公式；
- 在涉及无穷小或无穷大的情况下，需特别注意符号和阶数；
- 熟练掌握这些公式后，可尝试推导一些变体，以提升解题能力。
通过掌握这9个常用极限公式，可以大大简化许多数学问题的求解过程，提高学习效率。希望本文能为你提供清晰的思路和实用的工具。
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