高等数学是许多学科的基础，无论是理工科还是经济学、管理学等专业，都离不开高等数学的应用。为了帮助大家更好地掌握高等数学的知识点，这里整理了一些精选的练习题及其详细解答。
一、函数与极限
1. 题目：求函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) 在 \( x \to 2 \) 时的极限。
解析：
首先观察到分母在 \( x = 2 \) 处为零，因此需要对分子进行因式分解。
\[
f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}
\]
当 \( x \neq 2 \) 时，可以约去 \( x-2 \)，得到简化后的函数 \( f(x) = x + 2 \)。因此，
\[
\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4
\]
2. 题目：证明函数 \( g(x) = \sin x \) 在 \( x \to 0 \) 时的极限为 0。
解析：
根据三角函数的基本性质，当 \( x \to 0 \) 时，\(\sin x \to 0\)。更严格地说，对于任意小的正数 \( \epsilon > 0 \)，存在 \( \delta > 0 \)，使得当 \( |x| < \delta \) 时，有 \( |\sin x| < \epsilon \)。因此，根据极限定义，
\[
\lim_{x \to 0} \sin x = 0
\]
二、导数与微分
3. 题目：求函数 \( h(x) = e^{2x} \cos(3x) \) 的导数。
解析：
使用乘积法则和链式法则计算：
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) \cdot \cos(3x) + e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos(3x))
\]
\[
h'(x) = 2e^{2x} \cos(3x) - 3e^{2x} \sin(3x)
\]
\[
h'(x) = e^{2x}(2\cos(3x) - 3\sin(3x))
\]
4. 题目：已知 \( y = \ln(x^2 + 1) \)，求其在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
解析：
先求导数 \( y' = \frac{2x}{x^2 + 1} \)，然后代入 \( x = 1 \) 得到斜率 \( k = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1} = 1 \)。又因为 \( y(1) = \ln(2) \)，所以切线方程为：
\[
y - \ln(2) = 1 \cdot (x - 1)
\]
即
\[
y = x + \ln(2) - 1
\]
三、积分
5. 题目：计算不定积分 \( \int \frac{1}{x^2 + 4} dx \)。
解析：
利用三角代换法，令 \( x = 2\tan u \)，则 \( dx = 2\sec^2 u du \)，且 \( x^2 + 4 = 4\sec^2 u \)。代入后得：
\[
\int \frac{1}{x^2 + 4} dx = \int \frac{2\sec^2 u}{4\sec^2 u} du = \frac{1}{2} \int du = \frac{1}{2} u + C
\]
回代 \( u = \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \)，最终结果为：
\[
\int \frac{1}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C
\]
6. 题目：计算定积分 \( \int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx \)。
解析：
使用倍角公式 \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \)，则
\[
\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx
\]
\[
= \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (1 - \cos(2x)) dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\pi/2}
\]
计算可得：
\[
\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4}
\]
以上就是一些典型的高等数学练习题及其解答。希望这些题目能够帮助你巩固所学知识，并提高解决问题的能力。如果还有其他问题或需要更多练习，请随时提问！
