【普朗克公式推导斯忒藩-玻尔兹曼定律和维恩位移定律】在热力学与量子物理的发展过程中，普朗克公式作为黑体辐射理论的基石，不仅揭示了能量的量子化特性，还为后续的经典与现代物理理论奠定了重要基础。通过对普朗克公式的深入分析，可以自然地推导出两个重要的物理定律：斯忒藩-玻尔兹曼定律和维恩位移定律。本文将围绕这一过程展开详细讨论。
一、普朗克公式的背景与形式
1900年，德国物理学家马克斯·普朗克在研究黑体辐射问题时，提出了一个全新的能量分布公式，即普朗克公式。该公式成功解释了经典理论无法解决的“紫外灾难”问题，标志着量子理论的诞生。
普朗克公式描述的是单位面积、单位立体角内，黑体在某一频率ν处发射的辐射强度，其数学表达式如下：
$$
I(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/(kT)} - 1}
$$
其中：
- $ I(\nu, T) $ 是单位面积、单位立体角内的辐射强度（单位：W/m²·sr·Hz）；
- $ h $ 是普朗克常数；
- $ c $ 是光速；
- $ k $ 是玻尔兹曼常数；
- $ T $ 是黑体的绝对温度。
这个公式表明，黑体辐射的能量不是连续分布的，而是以离散的“能量子”形式释放，这与经典物理学中的连续能量假设完全不同。
二、从普朗克公式推导斯忒藩-玻尔兹曼定律
斯忒藩-玻尔兹曼定律指出，黑体单位面积的总辐射功率与其绝对温度的四次方成正比。即：
$$
P = \sigma T^4
$$
其中，$ \sigma $ 是斯忒藩-玻尔兹曼常数，约为 $ 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W}/\text{m}^2\cdot\text{K}^4 $。
要推导这一结果，我们需要对普朗克公式进行积分，计算整个频率范围内的总辐射功率。
1. 总辐射功率的表达式
黑体单位面积的总辐射功率为：
$$
P = \int_0^\infty I(\nu, T) \, d\nu
$$
将普朗克公式代入得：
$$
P = \int_0^\infty \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/(kT)} - 1} \, d\nu
$$
令 $ x = \frac{h\nu}{kT} $，则 $ \nu = \frac{kT}{h}x $，$ d\nu = \frac{kT}{h} dx $，代入后得到：
$$
P = \frac{2hk^4 T^4}{c^2 h^4} \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} \, dx
$$
进一步整理得：
$$
P = \frac{2\pi^5 k^4}{15 h^3 c^2} T^4
$$
因此，斯忒藩-玻尔兹曼常数为：
$$
\sigma = \frac{2\pi^5 k^4}{15 h^3 c^2}
$$
这就是斯忒藩-玻尔兹曼定律的来源。
三、从普朗克公式推导维恩位移定律
维恩位移定律指出，黑体辐射的峰值波长 $ \lambda_{\text{max}} $ 与温度 $ T $ 成反比，即：
$$
\lambda_{\text{max}} T = b
$$
其中，$ b $ 是维恩位移常数，约为 $ 2.897 \times 10^{-3} \, \text{m}\cdot\text{K} $。
为了推导这一关系，我们通常使用波长形式的普朗克公式：
$$
I(\lambda, T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{hc/(\lambda kT)} - 1}
$$
接下来，我们对 $ I(\lambda, T) $ 关于 $ \lambda $ 求导，并令导数为零，找到极大值点。
设 $ x = \frac{hc}{\lambda kT} $，则 $ \lambda = \frac{hc}{x kT} $，代入后可得：
$$
I(\lambda, T) \propto \frac{x^5}{e^x - 1}
$$
对 $ x $ 求导并令其为零，解得：
$$
x \approx 4.965
$$
因此：
$$
\frac{hc}{\lambda_{\text{max}} kT} = 4.965 \Rightarrow \lambda_{\text{max}} T = \frac{hc}{4.965 k} \approx 2.897 \times 10^{-3} \, \text{m}\cdot\text{K}
$$
这正是维恩位移定律的表达式。
四、总结
通过普朗克公式，我们不仅能够理解黑体辐射的本质，还能从中推导出两个重要的物理定律：斯忒藩-玻尔兹曼定律和维恩位移定律。这些成果不仅深化了人们对热辐射的理解，也为后来的量子力学和宇宙学研究提供了坚实的理论基础。
普朗克的工作不仅解决了当时物理界的难题，更为现代科学开辟了新的方向，其影响至今仍在延续。
